EXAMEN : BAC A1, A2 et H SESSION NORMALE 1993

 

EXERCICE 1 

Soit ε l’ensemble des lettres A, B, C, D, E.

Un mot est une succession de lettres distinctes ou non de l’ensemble ε.

La longueur d’un mot est le nombre de lettres formant ce mot.

Exemple : AAA, BBB, BAC sont des mots de longueur 3.

Calculer le nombre de mots de longueur 3 que l’on peut former.

Calculer le nombre de mots de longueur 3 formés de lettres toutes distinctes.

Calculer le nombre de mots de longueur 3 formés de lettres toutes distinctes et terminés par E.

On tire au hasard et simultanément 3 lettres de l’ensemble ε.

Calculer la probabilité d’avoir une consonne et 2 voyelles.

Calculer la probabilité d’avoir 2 consonnes et une voyelle.

 

EXERCICE 2

Résoudre dans IR2 le système suivant d’équations d’inconnues x et y :

 = 12

 =

Résoudre dans IR2 le système suivant d’équations d’inconnues x et y :

 ln (xy) = 7

 ln  =   1

 

Le symbole ln désigne le logarithme népérien et e sa base.

 

EXERCICE 3

Soit f la fonction de IR vers IR définie par : f(x) =

On appelle (C) sa courbe représentative dans un repère (O, I, J) orthonormé, l’unité de longueur étant 1 cm.

a- Déterminer l’ensemble de définition Df de f.

b- Vérifier que, pour tout x élément de Df, on a : f(x) = - x + 5 -

Démontrer que la droite (OJ) et la droite (D) d’équation y = -x + 5 sont des asymptotes à la courbe (C).

a- Etudier les variations de f sur l’intervalle [  ; 10] et dresser son tableau de variation sur cet intervalle.

b- Déterminer les coordonnées des points d’intercession M  et N de la courbe (C) avec l’axe des abscisses (XM > XN).

c- Déterminer les équations des tangentes à la courbe (C) aux points M et N. Déterminer les coordonnées du point d’intercession P de ces tangentes.

Construire la courbe (C) sur l’intervalle [  ; 10], la droite (D) et les tangentes en M et N dans le même repère.

Spécifique à la série A1

Soit G la fonction de IR vers IR définie par :

G(x) = -  + 5 x – 4 ln x

Démontrer que G est une primitive de f sur l’intervalle ]0 ; + ∞[.

En déduire l’aire de la partie du plan délimité par la courbe (C), les tangentes (MP) et (NP) et les droites d’équations x=1 et x=4.